PERSAMAAN EKSPONEN

PERSAMAAN EKSPONEN

- August 12, 2020

Persamaan eksponen

Adalah persamaan dari bilangan eksponen dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi, atau persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.

Bentuk-bentuk persamaan eksponen (PE) sebagai berikut:

PE bentuk $a^{f(x)} = a^p$

Jika $a>0$ dan $a\ne 1$ , maka f(x) = p.

Contoh: $2^{3x} = 2^6$

Maka: $3x = 6$

$x=2$

PE bentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$

Jika a>0 dan a≠ 1, maka $f(x) = g(x)$

Contoh: $2^{3x+1} = 2^{2x+3}$

Maka: $3x+1 = 2x+3$

$x = 2$

PE bentuk $a^{f(x)} = b^{f(x)}$

Jika $a>0$ , $a\ne 1$ , $b>0$ , $b \ne 1$ , dan $a\ne b$ , maka $f(x)$ = 0

Contoh: $2^{3x+1} = 5^{3x+1}$

Maka: $3x + 1 = 0$

$x = -\frac{1}{3}$

PE bentuk $a^{f(x)} = b^{g(x)}$

Penyelesaian didapat dengan melogaritmakan kedua ruas

Contoh: $2^{3x+1} = 10^{3x}$

Maka: $\log 2^{3x+1} = \log 10^{3x}$

$(3x+1)\log 2 = (3x)$

$3x \log 2 + \log 2 = 3x$

$\log 2 = 3x (1 - \log 2)$

$x = \frac{\log 2}{3(1 - \log 2)}$

PE bentuk $(h(x))^{f(x)} = (h(x))^{g(x)}$

Kemungkinan yang bisa terjadi adalah:

$f(x) = g(x)$

Contoh: $(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}$

Mungkin: $(3x+1) = (2x+3)$

$x =2$

$h(x) = 1$

Contoh: $(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}$

Mungkin: $(3x+2) = 1$

$x = -\frac{1}{3}$

$h(x) = 0$ asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya positif

Contoh: $(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

Mungkin: $(3x+2) = 0$

$x = -\frac{2}{3}$

$h(x) = -1$ asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya sama genap atau sama ganjil

Contoh: $(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

Mungkin: $(3x+ 2) = -1$

$x=-1$

Persamaan Eksponen Dalam Bentuk Aljabar

Jika terdapat sebuah persamaan eksponen dalam bentuk aljabar sebagai berikut:

$A(a^{f(x)})^2 + B(a^{f(x)}) + C = 0$

Dengan $a^{f(x)}$ adalah persamaan eksponen, $a\ne 1$ , dan konstanta A, B, C adalah bilangan real serta $A\ne 0$ dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke persamaan kuadrat.

Pengubahan dengan cara memisalkan $y = a^{f(x)}$ sehingga akan diperoleh persamaan kuadrat baru:

$A(y)^2 + B(y) + C = 0$

Akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut disubstitusikan ke dalam bentuk persamaan eksponen $y = a^{f(x)}$ . Dengan cara penyelesaian biasa, nilai-nilai x bisa diperoleh.

Sebagai contoh diketahui sebuah persamaan eksponen: $(2x+7)^2 - 4(2x+7)+3 = 0$ .

Maka penyelesaiannya adalah dengan memisalkan persamaan tersebut menjadi:

$y^2 - 4y + 3 = 0$ sehingga $(y - 3)(y - 1) = 0$

$y_1 = 3$ dan $y_2 = 1$ diperoleh, $y_1 =2x+7$ ➞ $3 = 2x+7$ ➞ $x = -2$

dan $y_2 = 2x+7$ ➞ $1 = 2x+7$ ➞ $x = -3$