PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DENGAN EKSPONEN

Bunga

Bunga merupakan uang tambahan yang dibayarkan/diterima selain Modal/Pinjamam pokok setelah jangka waktu tertentu.

Jika sejumlah uang Mo dibungakan dengan b% dalam jangka tertentu maka :

B = Mn – Mo

B = b% . Mo

Keterangan :

b = bunga (%)

B = bunga (Rp)

Mo = Modal (Rp)

Mn = Uang akhir (Rp)

Contoh :

Maira meminjam uang ke bank sebesar Rp. 20.000.000 untuk keperluan renovasi rumah. Bank tersebut memberikan syarat bunga 5% setahun, maka uang yang harus dikembalikan Maira adalah ...

Jawab :

Mo = 20.000.000

b = 5%

maka B = 5% x 20.000.000 = 1.000.000

jadi uang yang harus dikembalikan adalah 20.000.000 + 1.000.000 = Rp. 21.000.000,-

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diterima setiap akhir periode dengan besar yang konstan/tetap.

Jika seseorang memiliki modal M dan dibungakan dengan b% selama w tahun, maka :

B = b x M x w

dan modal akhir didapatkan :

Mt = M + B

= M + b M w

Mt = M(1 + bw)

Contoh:

Roni menyimpan uangnya dalam bank sebesar Rp. 1.000.000,- bank tersebut memberikan suku bunga tunggal 4% per tahun. Setelah 6 bulan maka berapakah uang Roni?

Jawab:

M = 1.000.000

b = 4% per tahun

w = 6 bulan = 0,5 tahun

B = b x M x w

= 4% x 1000.000 x 0,5

= 20.000

Maka tabungan setelah 6 bulan adalah 1.000.000 + 20.000 = Rp. 1.020.000,-

Bunga Majemuk

Pada bunga tunggal, modal akan selalu tetap/konstan sehingga bunga juga akan tetap pada setiap periodenya. Namun, beda dengan bunga majemuk. Pada bunga majemuk, bunga pada periode pertama akan diakumulasi dengan Modal dan hasilnya dijadikan Modal pada periode berikutnya.

Periode I

B1 = b x M

M1 = M + B1

= M + b M

= M (1 + b)

Periode II

B2 = b x M1

M2 = M1 + B2

= M1 + b.M1

= M1. (1 + b)

= M(1 + b).(1 + b)

= M.(1 + b)2

Periode ke-n

Mn = M (1 + b)n

n = periode(jangka waktu)

Contoh:

Modal sebesar Rp 10.000.000,- dibungakan selama 3,5 tahun dengan bunga majemuk 6% per semester. Maka nilai akhir dari modal tersebut adalah...

M = 10.000.000

W = 3,5 tahun à 7 semester ( n = 7)

b = 6% pert semester ( 1 periode = 1 semester/6 bulan)

Mn = M ( 1 + b)7

= 10.000.000 ( 1 + 0,06)7

= 10.000.000 ( 1,06)7

= 15.036.300

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan penerapan dari konsep barisan dan deret geometri naik.

Rumus pertumbuhan:

An = A ( 1 + r)n

An = nilai pada periode ke-n

A = nilai awal

r = prosentase pertumbuhan

n = periode pertumbuhan

Contoh:

Suatu kota memiliki jumlah penduduk pada tahun 2016 sejumlah 6 juta jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut 2% per tahun. Maka jumlah penduduk kota tersebut setelah 3 tahun adalah ...

Jawab:

A = 6 juta jiwa

r = 2%

n = 3

An = 6.000.000 (1 + 0,02)3

= 6.000.000(1,02)3

= 6.000.000 (1,061208)

= 6.367.248

Peluruhan

Peluruhan merupakan penerapan dari konsep barisan dan deret geometri turun.

Rumus pertumbuhan :

An = A ( 1 - r)n

An = nilai pada periode ke-n

A = nilai awal

r = prosentase peluruhan

n = periode peluruhan

Contoh:

Ayah membeli mobil seharga Rp 100.000.000,- . Setiap tahun tingkat harga mengalami penurunan 5%. Jika ayah menjual mobilnya setelah 4 tahun. Maka berapa kisaran harga mobil ayah?

Jawab:

A = 100.000.000

r = 5%

n = 4 tahun

An = 100.000.000 ( 1 – 0,05)4

= 100.000.000 ( 0,95)4

= 100.000.000 (0,814506)

= 81.450.600

Anuitas

Adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan yaitu:

Besar pinjaman
Besar bunga
Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya :

$Anuitas = Bunga\ atas\ hutang\ + Angsuran\ hutang$

Jika utang sebesar $M_o$ mendapat bunga sebesar b per bulan dan anuitas sebesar A, maka dapat ditentukan :

Besar bunga pada akhir periode ke-n

$B_n = (1+b)^{n-1}(b \cdot M - A) + A$

Besar angsuran pada akhir periode ke-n

$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$

Sisa hutang pada akhir periode ke-n

$M_n = (1+b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

Besar anuitas untuk membayar hutang sebesar $M_0$ dengan bunga sebesar b perbulan selama n bulan adalah :

$A = \frac{b (M_0)(1 + b)^n}{(1 + b)^n - 1}$

Contoh Soal Anuitas

Sebuah pinjaman sebesar Rp850.000.000,00 yang harus dilunasi dengan 6 anuitas jika dasar bunga 4% per bulan dan pembayaran pertama dilakukan setelah sebulan. Sisa hutang pada akhir bulan kelima adalah?

Pembahasan

$A = \frac{b(M_0)(1+b)^n}{(1+b)^n-1}$