LOGARITMA DAN SIFAT - SIFATNYA
Sifat logaritma merupakan sifat-sifat khusus yang dimiliki oleh logaritma. Logaritma sendiri digunakan untuk menghitung pangkat berapakah sebuah bilangan agar hasilnya sesuai.
Logaritma adalah operasi hasil kebalikan dari sebuah perpangkatan.
Logaritma umumnya digunakan ilmuwan untuk mencari nilai orde frekuensi gelombang, mencari nilai pH atau tingkat keasaman, menentukan konstanta peluruhan radioaktif dan masih banyak lagi.
Rumus Dasar Logaritma
Rumus dasar logaritma digunakan untuk mempermudah kita menyelesaikan masalah terkait logaritma. Contohnya perpangkatan ab=c, maka untuk menghitung nilai c kita dapat menggunakan logaritma seperi di bawah ini:
c = alog b = loga(b)
- a adalah basis atau bilangan pokok logaritma
- b adalah numerus atau bilangan yang dicari logaritma
- c adalah hasil operasi logaritma
Operasi logaritma di atas berlaku untuk nilai a > 0.
Pada umumnya bilangan logaritma digunakan untuk menjabarkan perpangkatan 10 atau orde. Oleh karena itu, apabila operasi logaritma memiliki nilai basis 10 maka nilai basis pada operasi logaritma tidak perlu dituliskan dan menjadi log b = c.
Selain logaritma basis 10, terdapat bilangan istimewa lagi yang sering digunakan sebagai basis. Bilangan tersebut adalah bilangan euler atau bilangan natural.
Bilangan natural memiliki nilai 2,718281828. Logaritma dengan basis bilangan natural dapat dinamakan dengan operasi logaritma natural. Penulisan logaritma natural adalah sebagai berikut:
ln b = c
Sifat-sifat Logaritma
Operasi logaritma memiliki sifat apabila dikalikan, dibagi, ditambah, dikurang atau bahkan dipangkatkan. Sifat-sifat dari operasi logaritma tersebut dijelaskan oleh tabel di bawah ini :
1. Sifat Logaritma Dasar
Sifat dasar dari sebuah perpangkatan adalah apabila sebuah bilangan dipangkatkan dengan 1 maka hasilnya akan tetap sama dengan sebelumnya.
Sama halnya dengan logaritma, apabila sebuah logaritma memiliki basis dan numerus yang sama maka hasilnya adalah 1.
a log a = 1
Selain itu, apabila suatu bilangan dipangkatkan dengan 0 maka hasilnya adalah 1. Untuk itulah apabila numerus logaritma bernilai 1 maka hasilnya adalah 0.
a log 1 = 0
2. Logaritma Koefisien
Apabila sebuah logaritma memiliki basis atau numerus yang berpangkat. Maka, pangkat dari basis atau numerus tersebut dapat menjadi koefisien dari logaritma itu sendiri.
Pangkat basis menjadi penyebut dan pangkat numerus menjadi pembilang.
( a^x ) log ( b^y ) = ( y / x ) . a log b
Ketika basis dan numerus memiliki pangkat yang bernilai sama maka pangkat tersebut dapat dihilangkan karena koefisien logaritma bernilai 1.
(a^x)log(b^x) = (x/x) . a log b = 1 . a log b
Sehingga
(a^x) log (b^x) = a log b
3. Logaritma Sebanding Terbalik
Sebuah logaritma dapat memiliki nilai yang sebanding dengan logaritma lain yang berbanding terbalik antara basis dan numerusnya.
4. Sifat Perpangkatan Logaritma
Apabila sebuah bilangan dipangkatkan dengan logaritma yang memiliki basis yang sama dengan bilangan tersebut maka hasilnya akan berupa numerus dari logaritma itu sendiri.
a ^ ( a log b ) = b
5. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Logaritma
Logaritma dapat dijumlahkan dengan logaritma lain yang memiliki basis yang sama. Hasil dari penjumlahan tersebut berupa logaritma dengan basis yang sama dan numerus yang dikalikan.
a log x + a log y = a log ( x . y )
Selain penjumlahan, logaritma juga dapat dikurangkan dengan logaritma lain yang memiliki basis yang sama.
Namun, terdapat perbedaan pada hasilnya dimana hasilnya akan berupa pembagian antara numerus dari logaritma.
a log x – a log y = a log ( x / y )
6. Sifat Perkalian dan Pembagian Logaritma
Operasi perkalian antara dua buah logaritma dapat disederhanakan apabila kedua logaritma tersebut memiliki basis atau numerus yang sama.
a log x . x log b = a log b
Sedangkan untuk pembagian logaritma dapat disederhanakan apabila kedua logaritma hanya memiliki basis yang sama.
x log b / x log a = a log b
7. Sifat Logaritma Numerus Terbalik
Sebuah logaritma dapat memiliki nilai yang sama dengan negatif logaritma lain yang memiliki numerus dengan pecahan terbalik.
a log ( x / y ) = – a log ( y / x )
Contoh Soal Logaritma
1. Tentukan nilai dari: 2log 8 + 3log 9 + 5log 125 adalah…
A. -4
B. -8
C. 0
D. 4
E. 8
Jawaban : E
Pembahasan :
2log 8 + 3log 9 + 5log 125
= 2log 23 + 3log 32 + 5log 53 = 3 2log 2 + 2 3log 3 + 3 5log 5
= 3 + 2 + 3 = 8
2. Tentukan nilai dari 2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125 adalah…
A. -4
B. -8
C. 0
D. 4
E. 8
Jawaban : B
Pembahasan :
2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125
= 2log 2−3 + 3log 3−2 + 5log 5−3
= − 3 − 2 − 3 = − 8
3. Tentukan nilai dari 4log 8 + 27log 9 adalah. . .
A. 10/6
B. 12/6
C. 13/6
D. 14/6
E. 15/6
Jawaban : C
Pembahasan :
4log 8 + 27log 9
= 22log 23 + 33log 32
= 3/2 2log 2 + 2/3 3log 3
= 3/2 + 2/3 = 9/6 + 4/6 = 13/6
4. Tentukan nilai dari 8log 4 + 27log 1/9 adalah. . .
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Jawaban : C
Pembahasan :
8log 4 + 27log 1/9
23log 22 + 33log 3−2
= 2/3 2log 2 + (−2/3) 3log 3
= 2/3 − 2/3 = 0
5. Tentukan nilai dari √2log 8 adalah. . .
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
E. 2
Jawaban : C
Pembahasan :
√2log 8
= 21/2log 23 = 3/0,5 2log 2 = 3/0,5 = 6
Daftar Pustaka
https://saintif.com/sifat-logaritma/
https://soalkimia.com/contoh-soal-pangkat-akar-dan-logaritma/
