DALIL SEGMEN GARIS PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

 Ingat bahwa garis AB adalah himpunan tak berbatas dari titik-titik yang membentang tampa henti di kedua arah, tetapi satu baris. Sedangkan segmen garis AB adalah bagian dari garis AB dan memiliki panjang terbatas (titik A dan B sebagai batas)

Perhatikan beberapa dalil segmen garis berikut ini :

Dalil 1 : (Sifat kongruen segmen garis)
Sifat kongruen segmen garis adalah refleksi, simetri dan transitif
Refleksi : Untuk setiap garis AB berlaku AB ≡ AB
Simetri : Jika AB ≡ CD, maka CD ≡ AB
Transitif : Jika AB ≡ CD, dan CD ≡ EF maka AB ≡ EF

Dalil 4 : Dua garis tidak berpotongan pada lebih dari satu titik
Pada gambar di dibawah
AEB dan CED berpotongan di titik D dan tidak berpotongan dititik lain.

Dalil 5 : Jika terdapat sebuah titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis tegak lurus melalui garis tersebut

Dalil 6 : Untuk setiap dua titik berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, yaitu panjang segmen garis yang menghubungkan dua titik.

Pada gambar diatas, untuk titik A dan B yang berbeda, hanya ada satu bilangan real positif, diwakili oleh AB yang merupakan AB . yang merupakan jarak titik A ke titik B

Dalil 7 : Jarak terpendek antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik itu.

Dalil 8 : Segmen garis memiliki satu dan hanya satu titik tengah.

Pada gambar diatas, segmen AB memiliki titik tengah M, dan tidak ada titik tengah lain pada AB .

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

Penerapan dalil segmen garis adalah pada segitiga. Terdapat beberapa dalil yang berlaku pada segitiga, yakni dalil titik tengah dan dalil intersep. Berikut akan diuraikan tentang kedua dalil tersebut:

(1) Dalil titik tengah segitiga
Ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari dua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan setengah dari panjang sisi ketiga.

Jadi, pada segitiga ABC di atas, terdapat titik D dan E yang masing-masing merupakan titik tengah dari sisi AC dan AB, maka ruas garis DE akan sejajar dengan CB dan panjang DE setengah dari panjang AB.

(2) Dalil Intersept (Intercept)
Jika dua atau lebih garis sejajar dipotong oleh dua garis berpotongan, maka rasio dari ruas garis berpotongan pertama adalah sama dengan rasio dari ruas garis yang serupa dari garis perpotongan kedua.

Jadi, pada segitiga ABC di atas, terdapat garis DE yang sejajar dengan AB, dan kemudian garis-garis sejajar itu dipotong oleh dua garis yang berpotongan yakni CA dan CB, maka berlaku:
 

Pengembangan dari dalil ini, apabila terdapat tiga garis sejajar dan ketiga garis itu dipotong oleh dua garis yang berpotongan, seperti tampak pada gambar di samping, maka berlaku perbandingan:

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

1. Pada segitiga ABC, D, E dan F masing-masing titik tengah AB, AC dan BC, dimana BC = 130 cm dan DF = 50 cm. Jika keliling segitiga ABC 340 cm, tentukanlah panjang EF

Jawab
BC = 130 cm
DF = 50 cm maka AC = 2(50) = 100 cm
AB + BC + AC = 340
AB + 130 + 100 = 340
AB + 230 = 340 Jadi AB = 110 cm
Sehingga : EF = ½ AB =  ½ (110) = 55 cm

2. Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika panjang AC = 20 cm, BF = 4 cm, DF = 3,5 cm dan AB = 16 cm. Hitunglah panjang FG, DE, dan AD!

Penyelesaian:

Untuk mencari panjang FG gunakan perbandingan ∆BFG dengan ∆ABC, maka diperoleh:

AB:BF = AC:FG

Atau

AB/BF = AC/FG

16 cm/4 cm = 20 cm/FG

16 cm . FG = 20 cm . 4 cm

FG = 20 cm . 4 cm/16 cm

FG = 5 cm

Jadi panjang FG adalah 5 cm

Sekarang cari panjang DE dengan menggunakan perbandingan ∆BDE dengan ∆ABC, maka diperoleh:

DE : AC = BD:AB

atau

DE/AC=BD/AB (dalam hal ini BD = BF+DF = 7,5 cm)

DE/20 cm = 7,5 cm/16 cm

DE = 20 cm . 7,5 cm/16 cm

DE = 9,375 cm

Jadi panjang DE adalah 9,375 cm

Sekarang cari panjang AD dengan menggunakan konsep penjumlahan, yakni:

AB = AD + DF + BF

AB = AD + BD

AD = AB – BD

AD = 16 cm – 7,5 cm

AD = 8,5 cm

Jadi panjang AD adalah 8,5 cm.

3. Perhatikan gambar di bawah ini

Tentukan panjang OM dan ON pada gambar di atas!

Penyelesaian:

OM = √(MP.MN)

OM = √(3 cm.12 cm)

OM = √(36 cm2)

OM = 6 cm

ON = √(NP.MN)

ON = √(9 cm.12 cm)

ON = √(108 cm2)

ON = √(36.3 cm2)

ON = 6√3 cm

Jadi panjang OM dan ON adalah 6 cm dan 6√3 cm.

4. Perhatikan gambar di bawah ini.

 

Diketahui bahwa ∆PRQ siku-siku, begitu juga dengan ∆PSR. Nyatakan t dalam p, q, dan r.

Penyelesaian:

Pada gambar segitga siku-siku pada contoh soal 2 tampak bahwa:

1) ∠PRQ = ∠PSR (siku-siku);

2) ∠QPR = ∠SPR (berimpit).

3) ∠PQR = ∠PRS

Oleh karena itu, ∆PQR sebangun dengan ∆PSR sehingga berlaku hubungan:

RS/QR = PR/PQ

t/p = q/r

t = pq/r

5. Perhatikan gambar berikut.

Jika panjang AB = 3 cm, BC = 2 cm, dan DE = 3 cm, maka tentukan panjang BD.

Penyelesaian:

Diketahui:
panjang AB = 3 cm
panjang BC = 2 cm
panjang DE = 3 cm

Misalkan panjang BD = p.

Panjang BD dapat ditentukan dengan perbandingan ruas garis sejajar pada segitiga.

Pada segitiga tersebut, sisi DE yang sejajar dengan BC, sehingga diperoleh dua buahsegitiga yang sebangun yaitu ΔADE dan ΔABC.

Ini berarti, salah satu perbandingan sisi bersesuaiannya adalah:

ADAB=DEBC⇔(3+p)3=32⇔2(3+p)=3(3)⇔6+2p=9⇔2p=9–6⇔2p=3⇔p=1,5

Jadi, panjang BD = p = 1,5 cm.

DAFTAR PUSTAKA

https://www.materimatematika.com/2017/11/dalil-segmen-garis.html

https://mafia.mafiaol.com/2014/02/contoh-soal-perbandingan-segmen-garis.html

https://www.danlajanto.com/2016/07/perbandingan-ruas-garis-pada-segitiga.html

https://mafia.mafiaol.com/2014/05/perbandingan-ruas-garis-pada-segitiga.html