PEMBAHASAN SOAL PTS SEMESTER 2 (REMEDIAL)

 SOAL BUKU PAKET HALAMAN 214 - 216

1. Jika vektor a = (1   2   3), b = (5   4  –1), c = (4  –1   1) maka vektor a + 2b – 3c...

Pembahasan

Diketahui

• a = (1   2   3)
• b = (5   4  –1)
• c = (4  –1   1)

Ditanyakan

Vektor a + 2b – 3c = ... ?

Jawab

a + 2b – 3c

= 

= 

= 

= 

= (–1    13     –2)

= –i + 13j – 2k

2. Diketahui |a| = √3, |b| = 1, dan |a - b| = 1, Panjang vektor |a + b| = ...

Jawaban:
1) cari terlebih dahulu a.b dari perpangkatan |a - b|

|a - b|² = a² - 2ab + b²
    1²    = √3² - 2ab + 1²  <=== untuk a² = |a|² dan b² = |b|
                                               untuk a.b = |a|.|b|.cos α, karena tidak memiliki
                                                sudut α (sudut antara vektor a dan vektor b),                                                    maka tidak dapat dicari dengan cara dot vektor
    1     = 3 - 2ab + 1
   2ab  = 3 + 1 - 1
   2ab  = 3
    ab   = 3/2

2) Pankatkan |a + b|
|a + b|² = a² + 2ab + b²
|a + b|² = √3² + 2.(3/2) + 1²
|a + b|² = 3 + 3 + 1
|a + b|² = 7
|a + b| = √7
Jadi, nilai dari |a + b| = √7

3. Diketahui vektor a = 2i - 3j + 4k dan vektor b = 5j + 5k. Nilai vektor ab adalah...

Pembahasan

a = 2i - 3j + 4k,
b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k
ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5

4. Diketahui vektor |a+b| = 2√19, jika vektor |a| = 4 dan vektor |b| = 6, maka |a-b|...

Pembahasan

Diketahui :

• |a| = 4
• |b| = 6
• |a + b| = 2√19

Ditanya : nilai |a – b| = . . . ?

Jawab :

❖ Menentukan nilai 2 a · b

diperoleh: nilai 2 a · b = 24

❖ Sehingga, nilai |a – b|

∴ Kesimpulan : Jadi, nilai |a – b| = 2√7

5. Diketahui vektor a = 2i - 3j + k, vektor b = pi + 2j - k, dan vektor c = i - j + 3k. Jika vektor b tegak lurus terhadap vektor c, vektor a - b - c =...

Pembahasan

b tegak lurus c
b•c = 0
(p, 2, -1)•(1, -1, 3) = 0
p - 2 - 3 = 0
p - 5 = 0
p = 5
jadi b = 5i + 2j - k

Vektor a - b - c
=> (2, -3, 1) - (5, 2, -1) - (1, -1, 3)
=> (2-5-1, -3-2-(-1), 1-(-1)-3)
=> (-3-1, -5+1, 2-3)
=> (-4, -4, -1)
=> -4i - 4j - k

6. Jika sudut antara vektor a = i + √2 j + pk dan vektor b = i - √2j + pk adalah 60 derajat, maka p adalah...

Pembahasan

a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - a . b = |a| |b| Cos 60

p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5

P = - a . b = |a| |b| Cos 60

p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5 atau a . b = |a| |b| Cos 60

p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5 atau a . b = |a| |b| Cos 60

p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5a . b = |a| |b| Cos 60

p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = - √5 atau √5

7. Titik A ( 3, 2, -1), B (1, -2, 1), dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p =...

Pembahasan

AC = k AB

C - A = k (B - A)

(7, p-1, -5) - (3, 2, -1) = k (( 3, 2, -1) - ( 1, -2, 1))

(4, p-3, -4) = k (-2, -4, 2)

4 = -2k

k = -2

p-3 = -4k

p-3 = -4(-2)

p-3 = 8

p = 11

8. Diketahui titik A(3,1,-4) B(3,-4,6) dan C(-1,5,4) titik p membagi vektor AB sehingga AP:PB=3:2 maka vektor yang di wakili oleh vektor PC adalah...

Pembahasan

Diketahui

• A(3, 1, –4)
• B(3, –4, 6)
• C(–1, 5, 4)
• AP : PB = 3 : 2

Ditanyakan

Vektor PC = .... ?

Jawab

AP : PB = 3 : 2, maka

p = 

p = 

p = 

p = 

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

= 

= 

= –4i + 7j + 2k

= (–4, 7, 2)

9. Diketahui panjang proyeksi vektor a=(-2,8,4) pada vektor b=(0,p,4) adalah 8. Nilai p =

Pembahasan

Diketahui

• vektor a = (–2, 8, 4)
• vektor b = (0, p, 4)

panjang proyeksi vektor a pada b = 8

Ditanyakan

Nilai p = ... ?

Jawab

a . b = 

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16

Panjang vektor b

|b| = 

|b| = 

Panjang proyeksi vektor a pada b = 8

 = 8

 = 8

 = 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

==> kedua ruas dikuadratkan <==

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3

10. Diberikan vektor a = ( p, 2, -1), vektor b = (4, -3, 6), dan c = ( 2, -1, 3 ). Jika vektor a tegak lurus vektor b, maka hasil dari (a.b).(2c) adalah...

a.b=0

P(4)+2(-3)-1(6)=0

4p-6-6=0

4p= 12

p=3

(a-b).2c =

(3)   (4)         (2)     (-1)   (4)

(2) - (-3) × 2 (-1) = (5) × (-2)

(-1)  (6)         (3)     (-7)    (6)

= -4-10-42

= -56

11. Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1), dan C(7,5,-3). jika A,B, dan C segaris (kolinear) maka AB : BC =

Pembahasan

AB = b - a
     = (3,3,1) - (1,2,3)
     = (2,1,-2)

BC = c - b
     = (7,5,-3) - (3,3,1)
     = (4,2,-4)

      AB : BC
(2,1,-2) : (4,2,-4)
(2,1,-2) : 2(2,1,-2)
       1  :  2
Jadi, AB : BC = 1 : 2

12. Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a+b| = |a-b|, maka vektor a dan b saling..

Jawab

membentuk sudut 90 derajat.

13. Diketahui titik A (2, 7, 8), B (-1, 1, -1), dan C (0, 3, 2). Jika vektor u mewakili vektor AB dan vektor v mewakili vektor BC, maka proyeksi orthogonal vektor u pada vektor v adalah...

Pembahasan

AB= b-a
BC= c-b

AB=(-1,1,-1)-(2,7,8)
=(-3,-6,-9)

BC=(0,3,2)-(-1,1,-1)
=(1,2,3)

e= u•v/|v|² kali v
=(-3•1)+(-6•2)+(-9•3)/(√1²+2²+3²)²kali (1,2,3)
=-3-12-27/(√14)² kali (1,2,3)
=-42/14 kali (1,2,3)
= -3(1,2,3)
= (-3,-6,-9)

= -3i - 6j - 9k

14. Diketahui vektor a= 2i - 3j + 6k dan vektor b = i + pj - k saling tegak lurus. Nilai p adalah...

Pembahasan

a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0
p = -4/3

15. Diketahui vektor a=5i +j +7k dan b=3i-j +2k. Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah...

Pembahasan

a.b/|b|^2 .b 

= 5.3+1.(-1)+7.2/|√3^2 + (-1) + 2^2|^2 .b

= 15 + (-1) + 14/|√9+1+4|^2 .b

= 28/|√14|^2 .b

= 28/14 .b

= 2.b => 2. (3i - j + 2k) => 6i - 2j + 4k

16. (3,-2,1).(2,y,2)/4+4+y²=1/2√4+4+y²

                          (6-2y+2)2=8+y²

                                16-4y=8+y²

                             y²+4y-8=0

         y=4±√16+32 / 2=-2±2√3

Jadi, nilai y yang memenuhi adalah 2√3-2 atau -2-√3

17. Diketahui vektor-vektor u=bi+aj+9k dan v=ai-bj+ak. Sudut antara vektor u dan v adalah theta dengan cos theta=6/11. Proyeksi u pada v adalah p=4i-2j+4k. nilai dari b adalah....

Pembahasan

Diketahui

 dan 

Kedua vektor membentuk sudut θ dengan cos θ = ⁶/₁₁.

Vektor proyeksi u pada v adalah 

Ditanya

Nilai b

Penyelesaian

Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.

Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.

Rumus cosinus sudut vektor u dan v

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

Kita misalkan  sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan 

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi  (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

Kalikan silang.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2

Untuk b = -√8 diperoleh b = -2√2

18. Jika a = (x+1) i + x j, b = 2x i + (3x+1) j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a, maka |p| ≤ 2 |a| untuk ...

Pembahasan

|a|=akar [(x+1)^2+x^2]

= akar [x^2+2x+1+x^2]

= akar [2x^2+2x+1]

Ipl = [bxa] / lal

= i+(3x+l) j] x [(x+l) i+x j] /

akar [2x^2+2x+1

= [(2x^2+2x) + (3x^2+x)] /

akar [2x^2+2x+1]

= [5x^2 + /akar [2x^2+2x+1]

|p| <_ 2|a|

[5x^2+3x]/akar [2x^2+2x+1] <_ 2x[akar[2x^2+2x+1]

5x^2+3x <_ 2x[akar[2x^2+2x+1] . (akar[2x^2+2x+1]

x^2 - x - 2 <_ 0 

(x+1) (x-2) <_ 0

x + 1 >_ 0 atau x - 2 <_ 0
x >_ -1 atau x <_ 2
{ -1 <_ x <_ 2}
Maka |p| <_ 2|a| untuk { -1 <_ x <_ 2 }

19. Vektor u=2i-j+2k dan vektor v=4i+2j+4k adalah vektor searah sebab nilai vektor u.vektor v =18

Pembahasan

Cari dulu nilai a

u.v = 18

2a-6-8=18

2a=18+6+8

2a=32

a=16

maka u + v = 2i+j+2k + 4i+2j+4k = 6i+3j+6k

20. Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut A(4, 7,0), B(6, 10, -6), dan C(1, 9, 0) merupakan segitiga siku - siku sebab..

Pembahasan

A = (4,7,0)

B = (6,10,-6)

C = (1,9,0)

AB = vektor B - vektor A

AB = (6,10,-6) - (4,7,0)

AB = (2,3,-6) > u

AC = vektor C - vektor A

AC = (1,9,0) - (4,7,0)

AC = (-3,2,0) > v

u • v = |u| × |v| × cosA

(2 × -3) + (3 × 2) + (-6 × 0) = √2^2 + 3^2 + (-6)^2 × √(-3)^2 + (2)^2 × cosA

-6 + 6 = 7 × √13 × cosA

0 = 7√13 × cosA

0/7√13 = cosA

0 = cosA

90° = A