PEMBAHASAN SOAL PTS SEMESTER 2 (REMEDIAL)

-

 SOAL BUKU PAKET HALAMAN 214 - 216

1. Jika vektor a = (1   2   3), b = (5   4  –1), c = (4  –1   1) maka vektor a + 2b – 3c...

Pembahasan

Diketahui

  • a = (1   2   3)
  • b = (5   4  –1)
  • c = (4  –1   1)

Ditanyakan

Vektor a + 2b – 3c = ... ?

Jawab

a + 2b – 3c

= 

= 

= 

= 

= (–1    13     –2)

= –i + 13j – 2k


2. Diketahui |a| = √3, |b| = 1, dan |a - b| = 1, Panjang vektor |a + b| = ...

Jawaban:
1) cari terlebih dahulu a.b dari perpangkatan |a - b|

|a - b|² = a² - 2ab + b²
    1²    = √3² - 2ab + 1²  <=== untuk a² = |a|² dan b² = |b|
                                               untuk a.b = |a|.|b|.cos α, karena tidak memiliki
                                                sudut α (sudut antara vektor a dan vektor b),                                                    maka tidak dapat dicari dengan cara dot vektor
    1     = 3 - 2ab + 1
   2ab  = 3 + 1 - 1
   2ab  = 3
    ab   = 3/2

2) Pankatkan |a + b|
|a + b|² = a² + 2ab + b²
|a + b|² = √3² + 2.(3/2) + 1²
|a + b|² = 3 + 3 + 1
|a + b|² = 7
|a + b| = √7
Jadi, nilai dari |a + b| = √7


3. Diketahui vektor a = 2i - 3j + 4k dan vektor b = 5j + 5k. Nilai vektor ab adalah...

Pembahasan

a = 2i - 3j + 4k,
b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k
ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5


4. Diketahui vektor |a+b| = 2√19, jika vektor |a| = 4 dan vektor |b| = 6, maka |a-b|...

Pembahasan

Diketahui :

  • |a| = 4
  • |b| = 6
  • |a + b| = 2√19

Ditanya : nilai |a – b| = . . . ?

Jawab :

❖ Menentukan nilai 2 a · b

diperoleh: nilai 2 a · b = 24

❖ Sehingga, nilai |a – b|

∴ Kesimpulan : Jadi, nilai |a – b| = 2√7


5. Diketahui vektor a = 2i - 3j + k, vektor b = pi + 2j - k, dan vektor c = i - j + 3k. Jika vektor b tegak lurus terhadap vektor c, vektor a - b - c =...

Pembahasan

b tegak lurus c
b•c = 0
(p, 2, -1)•(1, -1, 3) = 0
p - 2 - 3 = 0
p - 5 = 0
p = 5
jadi b = 5i + 2j - k

Vektor a - b - c
=> (2, -3, 1) - (5, 2, -1) - (1, -1, 3)
=> (2-5-1, -3-2-(-1), 1-(-1)-3)
=> (-3-1, -5+1, 2-3)
=> (-4, -4, -1)
=> -4i - 4j - k

6. Jika sudut antara vektor a = i + √2 j + pk dan vektor b = i - √2j + pk adalah 60 derajat, maka p adalah...
Pembahasan
a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5
P = - a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5 atau a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5 atau a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = √5
P = - √5a . b = |a| |b| Cos 60
p² - 1 = √(p² + 3) √(p² + 3) (1/2)
2p² - 2 = p² + 3
p² = 5
P² - 5 = 0
(P + √5)(p - √5) = 0
P = - √5 atau √5

7. Titik A ( 3, 2, -1), B (1, -2, 1), dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p =...
Pembahasan
AC = k AB
C - A = k (B - A)
(7, p-1, -5) - (3, 2, -1) = k (( 3, 2, -1) - ( 1, -2, 1))
(4, p-3, -4) = k (-2, -4, 2)

4 = -2k
k = -2

p-3 = -4k
p-3 = -4(-2)
p-3 = 8
p = 11

8. Diketahui titik A(3,1,-4) B(3,-4,6) dan C(-1,5,4) titik p membagi vektor AB sehingga AP:PB=3:2 maka vektor yang di wakili oleh vektor PC adalah...
Pembahasan

Diketahui

  • A(3, 1, –4)
  • B(3, –4, 6)
  • C(–1, 5, 4)
  • AP : PB = 3 : 2

Ditanyakan

Vektor PC = .... ?

Jawab

AP : PB = 3 : 2, maka

p = 

p = 

p = 

p = 

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

= 

= 

= –4i + 7j + 2k

= (–4, 7, 2)


9. Diketahui panjang proyeksi vektor a=(-2,8,4) pada vektor b=(0,p,4) adalah 8. Nilai p =
Pembahasan

Diketahui

  • vektor a = (–2, 8, 4)
  • vektor b = (0, p, 4)

panjang proyeksi vektor a pada b = 8

Ditanyakan

Nilai p = ... ?

Jawab

a . b = 

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16

Panjang vektor b

|b| = 

|b| = 

Panjang proyeksi vektor a pada b = 8

 = 8

 = 8

 = 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

==> kedua ruas dikuadratkan <==

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3


10. Diberikan vektor a = ( p, 2, -1), vektor b = (4, -3, 6), dan c = ( 2, -1, 3 ). Jika vektor a tegak lurus vektor b, maka hasil dari (a.b).(2c) adalah...

a.b=0

P(4)+2(-3)-1(6)=0

4p-6-6=0

4p= 12

p=3

(a-b).2c =

(3)   (4)         (2)     (-1)   (4)

(2) - (-3) × 2 (-1) = (5) × (-2)

(-1)  (6)         (3)     (-7)    (6)

= -4-10-42

= -56


11. Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1), dan C(7,5,-3). jika A,B, dan C segaris (kolinear) maka AB : BC =

Pembahasan

AB = b - a
     = (3,3,1) - (1,2,3)
     = (2,1,-2)

BC = c - b
     = (7,5,-3) - (3,3,1)
     = (4,2,-4)

      AB : BC
(2,1,-2) : (4,2,-4)
(2,1,-2) : 2(2,1,-2)
       1  :  2
Jadi, AB : BC = 1 : 2


12. Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a+b| = |a-b|, maka vektor a dan b saling..

Jawab

membentuk sudut 90 derajat.


13. Diketahui titik A (2, 7, 8), B (-1, 1, -1), dan C (0, 3, 2). Jika vektor u mewakili vektor AB dan vektor v mewakili vektor BC, maka proyeksi orthogonal vektor u pada vektor v adalah...

Pembahasan

AB= b-a
BC= c-b

AB=(-1,1,-1)-(2,7,8)
=(-3,-6,-9)

BC=(0,3,2)-(-1,1,-1)
=(1,2,3)

e= u•v/|v|² kali v
=(-3•1)+(-6•2)+(-9•3)/(√1²+2²+3²)²kali (1,2,3)
=-3-12-27/(√14)² kali (1,2,3)
=-42/14 kali (1,2,3)
= -3(1,2,3)
= (-3,-6,-9)

= -3i - 6j - 9k


14. Diketahui vektor a= 2i - 3j + 6k dan vektor b = i + pj - k saling tegak lurus. Nilai p adalah...

Pembahasan

a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0
p = -4/3


15. Diketahui vektor a=5i +j +7k dan b=3i-j +2k. Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah...

Pembahasan

a.b/|b|^2 .b 

= 5.3+1.(-1)+7.2/|√3^2 + (-1) + 2^2|^2 .b

= 15 + (-1) + 14/|√9+1+4|^2 .b

= 28/|√14|^2 .b

= 28/14 .b

= 2.b => 2. (3i - j + 2k) => 6i - 2j + 4k


16. (3,-2,1).(2,y,2)/4+4+y²=1/2√4+4+y²

                          (6-2y+2)2=8+y²

                                16-4y=8+y²

                             y²+4y-8=0

         y=4±√16+32 / 2=-2±2√3

Jadi, nilai y yang memenuhi adalah 2√3-2 atau -2-√3


17. Diketahui vektor-vektor u=bi+aj+9k dan v=ai-bj+ak. Sudut antara vektor u dan v adalah theta dengan cos theta=6/11. Proyeksi u pada v adalah p=4i-2j+4k. nilai dari b adalah....

Pembahasan

Diketahui

 dan 

Kedua vektor membentuk sudut θ dengan cos θ = ⁶/₁₁.

Vektor proyeksi u pada v adalah 

Ditanya

Nilai b

Penyelesaian

Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.

Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.

Rumus cosinus sudut vektor u dan v

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

Kita misalkan  sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali).

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan 

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi  (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

Kalikan silang.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2

Untuk b = -√8 diperoleh b = -2√2


18. Jika a = (x+1) i + x j, b = 2x i + (3x+1) j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a, maka |p| ≤ 2 |a| untuk ...

Pembahasan

|a|=akar [(x+1)^2+x^2]

= akar [x^2+2x+1+x^2]

= akar [2x^2+2x+1]


Ipl = [bxa] / lal

= i+(3x+l) j] x [(x+l) i+x j] /

akar [2x^2+2x+1

= [(2x^2+2x) + (3x^2+x)] /

akar [2x^2+2x+1]

= [5x^2 + /akar [2x^2+2x+1]


|p| <_ 2|a|

[5x^2+3x]/akar [2x^2+2x+1] <_ 2x[akar[2x^2+2x+1]


5x^2+3x <_ 2x[akar[2x^2+2x+1] . (akar[2x^2+2x+1]

x^2 - x - 2 <_ 0 

(x+1) (x-2) <_ 0

x + 1 >_ 0 atau x - 2 <_ 0
x >_ -1 atau x <_ 2
{ -1 <_ x <_ 2}
Maka |p| <_ 2|a| untuk { -1 <_ x <_ 2 }


19. Vektor u=2i-j+2k dan vektor v=4i+2j+4k adalah vektor searah sebab nilai vektor u.vektor v =18

Pembahasan

Cari dulu nilai a

u.v = 18

2a-6-8=18

2a=18+6+8

2a=32

a=16

maka u + v = 2i+j+2k + 4i+2j+4k = 6i+3j+6k


20. Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut A(4, 7,0), B(6, 10, -6), dan C(1, 9, 0) merupakan segitiga siku - siku sebab..

Pembahasan

A = (4,7,0)

B = (6,10,-6)

C = (1,9,0)


AB = vektor B - vektor A

AB = (6,10,-6) - (4,7,0)

AB = (2,3,-6) > u


AC = vektor C - vektor A

AC = (1,9,0) - (4,7,0)

AC = (-3,2,0) > v


u • v = |u| × |v| × cosA

(2 × -3) + (3 × 2) + (-6 × 0) = √2^2 + 3^2 + (-6)^2 × √(-3)^2 + (2)^2 × cosA

-6 + 6 = 7 × √13 × cosA

0 = 7√13 × cosA

0/7√13 = cosA

0 = cosA

90° = A

Popular posts from this blog

PENGERTIAN SKALAR DAN VEKTOR BESERTA CONTOH SOALNYA

-
Image
  BESARAN VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Karena memiliki arah, maka besaran ini bisa digambarkan dalam bentuk garis dengan anak panah diujungnya. Tanda anak panah inilah yang menunjukkan arah gerak besaran tersebut. CONTOH BESARAN VEKTOR Banyak sekali contoh besaran vektor di sekitar kita, misalnya Gaya Tarik, Gaya Tekan, Gaya Punter, Momen, Kecepatan, Momentum, Berat, dan lain sebagainya. Contoh real dari gaya tekan adalah ketika kita mendorong sebuah meja. Karena pengaruh gaya dorong kita, maka meja akan mengalami tekanan. PERSYARATAN BESARAN VEKTOR Berdasarkan sifat-sifat besaran vektor pada definisi besaran vektor diatas maka persyaratan dikatakan sebagai besaran vektor adalah: 1. Memiliki Arah Besaran vektor memiliki arah yang tertentu menurut arah geraknya. Arah dari besaran vektor tidak hanya berlaku untuk arah yang lurus saja namun juga berlaku untuk arah gerak yang melengkung. Misalnya gerak peluru yang dilempar ke atas dengan ar...
Read more

VEKTOR, JENIS VEKTOR, OPERASI VEKTOR DAN CONTOH SOALNYA

-
Image
Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah.   Secara geometris  vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor . Dalam matematika vektor digambarkan dalam bentuk garis lurus yang mempunyai panjang dan arah. Penulisan nama vektor : dengan menggunakan huruf kapital harus menggunakan dua huruf, sebagai contoh vektor   AB   ⃗ adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang ruas garis AB dan arahnya dari A ke B. sedangkan dengan huruf kecil hanya satu huruf, sebagai contoh  a ̅ Sebagai Contoh Jenis Jenis Vektor Vektor Nol adalah  vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu. Vektor Posisi adalah  Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi . Vektor Basis adalah  vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.   Vek...
Read more

SUDUT ANTAR VEKTOR PADA BIDANG BERDIMENSI DUA DAN BERDIMENSI TIGA BERSAMA CONTOH SOALNYA

-
Image
  Vektor matematika tak hanya terdiri dari beberapa jenis saja, namun vektor matematika juga terdiri dari beberapa macam. Nah beriktu akan kami berikan macam-macam vektor beserta dengan operasinya sekaligus, simak baik-baik ya: Vektor di R2  Panjang dari suatu segmen garis yang menyebutkan vektor dilambangkan dengan memakai  atau dapat juga dinotasikan dengan menggunakan simbol | | Berikut ini panjang dari vektor yaitu seperti berikut ini: Panjang vektor sendiri adalah bentuk yang bisa dihubungkan dengan sudut ∅  yang dapat dengan mudah untuk dibentuk oleh vektor serta juga sumbu positif. Operasi Vektor di  R2  ⇒ Proses penjumlahan dan juga Pengurangan Vektor di R2  Resultan adalah sebutan dari hasil penjumlahan yang dilakukan pada dua vektor atau pun lebih. Penjumlahan pada vektor ini sendiri juga dapat dilakukan secara aljabar serta juga dapat dilakukan dengan memakai cara menjumlahkan komponen yang berada di posisi sama atau seletak. Apabila: maka :...
Read more