PROYEKSI ORTOGONAL DAN PANJANG PROYEKSI BERSAMA CONTOH SOALNYA

Proyeksi merupakan ilmu yang mempelajari tentang cara pandang objek dalam ruang dimensi tiga dalam gambar di ruang dimensi dua. Cara ini mempermudah kita untuk melihat objek yang terletak di ruang dimensi tiga. Pada proyeksi vektor, objek yang diproyeksikan berupa vektor, baik itu panjangnya atau vektor itu sendiri. Proyeksi dibedakan menjadi beberapa jenis, di antaranya adalah proyeksi ortogonal, aksonometri, proyeksi miring (oblique), dan perspektif. Pada pembahasan proyeksi vektor kali ini hanya akan membahas mengenai proyeksi vektor ortogonal. Jadi, untuk jenis proyeksi lainnya tidak akan dibahas pada halaman ini.

Proyeksi ortogonal adalah cara pandang mata pada sebuah objek yang ditarik garis tegak lurus pada sebuah bidang datar. Terdapat dua proyeksi ortogonal yang akan di bahas pada pembahasan kali ini, yaitu proyeksi skalar dan vektor ortogonal. Perhatikan gambar dua proyeksi vektor dengan arah yang berbeda pada gambar di bawah

Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasa disebut juga dengan proyeksi panjang vektor ortogonal. Dalam kata lainnya, objek proyeksi adalah panjang vektor. Rumus untuk menghitung panjang proyeksi skalar vektor ortogonal adalah sebagai berikut.

Proyeksi skalar ortogonal $\vec{a}$ pada arah vektor $\vec{b}$ .
$\left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{b} \right| }$
Proyeksi skalar ortogonal $\vec{b}$ pada arah vektor $\vec{a}$ .
$\left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ \left| \vec{a} \right| }$

Proyeksi Vektor Ortogonal

Objek pada proyeksi skalar vektor ortogonal adalah panjang proyeksi vektor. Sedangkan pada proyeksi vektor ortogonal yang menjadi objek utamanya adalah vektornya. Vektor hasil proyeksi dapat ditentukan melalui rumus berikut.

Proyeksi vektor ortogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ .
$\vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{b} \right| ^{2} } \cdot \vec{b}$
Proyeksi vektor ortogonal $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ .
$\vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\left| \vec{a} \right| ^{2} } \cdot \vec{a}$

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi skalar dari u pada v adalah...
A. 1

B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(2² + (- 3)² + (- 6)²) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
Menghitung u . v
u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
Maka proyeksi skalar u pada v = u . v / |v| = 14 / 7 = 2
Jawaban: B

2. Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi vektor u pada v adalah...

A. 4i + 6j - 12k
B. 4i - 6j + 12k
C. 4i - 6j - 12k
D. 4i + 6j + 12k
E. 2i - 3j - 6k

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(2² + (- 3)² + (- 6)²) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
Menghitung u . v
u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
Proyeksi vektor u pada v = (u . v) v / |v|² = 14 / 7 v = 2 (2i - 3j - 6k) = 4i - 6j - 12k
Jawaban: C

3. Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - mj - 6 k. Jika panjang proyeksi u pada v sama dengan 1/2 panjang v, maka salah satu proyeksi vektor u pada v adalah....
A. 20/49 i - 120/49 k
B. 20/49 i + 120/49 k
C. 20/7 i - 120/49 k
D. 20/49 i - 120/7 k
E. 20/7 i - 120/7 k

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(2² + (- 3)² + (- 6)²) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
u . v / |v| = 1/2 |v|
2 . u . v = |v|²
2 (1 . 2 - 2 . m + (- 3 . - 6) = (√2² + (-m)² + (-6)²)²
2 (2 - 2m + 18) = 4 + m² + 36
4 - 4m + 36 = 40 + m²
m² + 4m + 40 - 40 = 0
m² + 4m = 0
m = 0 atau m = - 4
Jika m = 0 maka v = 2i - 6k
Jika m = - 4 maka v = 2i - 4j - 6k
Untuk v = 2i - 6k, maka proyeksi vektor u pada v = (u . v) v / |v|² = (1 . 2 + 2 . 0 + (- 3 . - 6)) (2i - 6k) / 49
= 20 (2i - 6k) / 49 = 20i - 120k / 49 = 20/49 i - 120/49 k

Untuk v = 2i - 4j - 6k, proyeksi vektor u pada v = (u . v) v / |v|² = (1 . 2 + 2 . -4 + (- 3 . - 6)) (2i - 4j - 6k) / 49
= 12 (2i - 4j - 6k) / 49 = 24i - 48 j - 72k / 49 = 24/49 i - 48/49 j - 72/49 k
Jawaban: A

4. Diketahui vektor-vektor sebagai berikut:

Contoh soal proyeksi skalar berbentuk matriks

Proyeksi skalar a pada (b + c) adalah....
A. 2/5
B. 3/5
C. 4/5
D. 7/5
E. 9/5

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu b + c

Menghitung |b + c|
|b + c| = √(-4)² + (3)² + 0² = √16 + 9 = 5
Menghitung a . (b + c)
a . (b + c) = (1 . -4) + (2 . 3) + 3 . 0 = 2
Maka proyeksi skalar a pada (b + c) = a . (b + c) / |b + c| = 2/5
Jawaban: A

5. Panjang proyeksi ortogonal vektor $\vec{a} = (p, 2, 4)$ pada $\vec{b} = (2, p, 1)$ adalah 4. Nilai p adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; -4$

$\textrm{B.} \; \; \; -2$

$\textrm{C.} \; \; \; - \frac{1}{2}$

$\textrm{D.} \; \; \; \frac{1}{2}$

$\textrm{E.} \; \; \; 2$

Pembahasan
Mencari panjang vektor b:

$\left| \vec{b} \right| = \sqrt{2^{2} + p ^{2} + 1^{2}}$

$\left| \vec{b} \right| = \sqrt{4+ p ^{2} + 1}$

$\left| \vec{b} \right| = \sqrt{p ^{2} + 5}$

Beradasrkan rumus proyeksi skalar (proyeksi panjang) ortogonal vektor dapat diperoleh persamaan berikut.

$\left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|}$

$4 = \frac{(p, 2, 4)(2, p, 1)}{\sqrt{p^{2}+5}}$

$4 = \frac{2p + 2p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}}$

$4 = \frac{4p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}}$

$4 = \frac{4(p + 1)}{\sqrt{p^{2}+5}}$

$1 = \frac{p + 1}{\sqrt{p^{2}+5}}$

$\sqrt{p^{2}+5} = p + 1$

$p^{2}+5 = (p + 1)^{2}$

$p^{2}+5 = p^{2} + 2p + 1$

$5 = 2p + 1$

$2p = 5 - 1$

$2p = 4 \rightarrow p=\frac{4}{2} = 2$

Jawaban: E

DAFTAR PUSTAKA

https://idschool.net/sma/proyeksi-skalar-dan-proyeksi-vektor-orthogonal/
http://barugurukita.blogspot.com/2016/08/pembahasan-contoh-soal-proyeksi.html

Search This Blog

MATERI MATEMATIKA PEMINATAN